Понятие определенного интеграла

Пусть -функция, непрерывная на отрезке . Разобьем отрезок на n-частичных(элементарных) отрезков . В каждом из этих последовательных отрезков выберем точку . Составим сумму вида

. (1)

Эта сумма называется интегральной для функции .

Определение1. Интегральной суммой данной функции на данном отрезке называется сумма парных произведений длин элементарных отрезков на значения функции в выделенных точках последних.

Значение интегральной суммы зависит: 1) от способа разбиения основного отрезка на элементарные и 2) от выбора промежуточных точек x в этих последних.

Если и ,то геометрически интегральная сумма представляет собой площадь ступенчатой фигуры, состоящей из n прямоугольников, основания которых есть элементарные отрезки , а высоты равны выбранным значениям функции. В общем случае интегральная сумма есть алгебраическая сумма площадей этих прямоугольников.

Пусть число точек деления n неограниченно растет и ; если при этом интегральная сумма имеет конечный предел, не зависящий от способа дробления отрезка на частичные отрезки и от выбора точек в них, то последний называется определенным интегралом от функции .

Определение 2. Определенным интегралом от данной функции на данном промежутке (или в пределах от a до b) называется предел соответствующей интегральной суммы при условии, что длина наибольшего элементарного отрезка подразбиения стремится к нулю, т.е.

. (2)

Числа a и b называются соответственно нижним и верхним пределами интегрирования определенного интеграла (2). Заметим, что знак интеграла есть стилизованная сумма.

Функции , для которых существуют пределы интегральных сумм, называются интегрируемыми на соответствующем отрезке. Приведем без доказательства теорему об интегрируемости непрерывной функции.

Статьи по теме:

Внеклассное мероприятие «Все работы хороши»
Цели: расширить, систематизировать знания учащихся о профессиях; обобщить знания по технологии (технология изготовления изделий); прививать интерес к рабочим профессиям, труду. Оборудование: иллюстрации различных видов профессий, конверты с разрезанными картинками строительных сооружений, конверт с ...

История развития системы дополнительного образования детей и подростков в России
Внешкольное воспитание детей и подростков в дореволюционной России. Появление самых первых форм внеучебной деятельности в России связано со Шляхтетским кадетским корпусом в Петербурге. В 30-х годах XVIII века воспитанник корпуса, будущий поэт А.П. Сумароков вместе с товарищами организовал литератур ...

Характеристика игрового и соревновательного методов
Понятие игрового метода в сфере физического воспитания отражает методические особенности игры, т.е. то, что отличает ее в методическом отношении (по особенностям организации деятельности занимающихся, руководства ею и другими педагогически существенными признаками) от других методов воспитания. Игр ...