Свойства определенного интеграла

1. Значение определенного интеграла не зависит от обозначения переменной интегрирования, т.е.

Это утверждение непосредственно следует из определения интеграла как числа, равного пределу интегральных сумм. В случае неотрицательной подинтегральной функции утверждение особенно очевидно, так как площадь соответствующей криволинейной трапеции не зависит от обозначения оси абсцисс.

2. Определенный интеграл меняет знак при перестановке пределов интегрирования, т.е. при :

Доказательство. Согласно формуле имеем:

3. Постоянный множитель можно выносить за знак определенного интеграла, т.е.

, для любого числа k.

Доказательство. Действительно, для любого разбиения Т промежутка ОХ от до и любого выбора точек

.

Переходя к пределу при стремлении шага разбиения к нулю, получаем:

4. Определенный интеграл от суммы двух функций f1(x) и f2(x) равен сумме определенных интегралов от слагаемых, т.е.

Доказательство. Действительно, для любого разбиения промежутка от до и любого выбора точек

Так как ,

,

то получаем что

.

5. Если отрезок [a,b] разбит точкой С на две части [a,c] и [c,b], то

Доказательство. Так как интеграл , равный пределу интегральных сумм, не зависит от применяемого при составлении интегральных сумм способа разбиения отрезка на части, можно рассматривать только те разбиения, в которых точка входит в качестве точки деления. Тогда

,

где и - суммы, соответствующие отрезкам деления, попавшим соответственно на отрезки и .

Переходя к пределу, при стремлении шага разбиения отрезка к нулю, получим:

,

,

а значит,

6. Если всюду на отрезке функция , то

.

Доказательство. В самом деле, любая интегральная сумма

для функции на отрезке неотрицательна, так как

, , .

Переходя к пределу в неравенстве , получаем .

7. Если всюду на отрезке , то .

8. Для функции , заданной на отрезке, имеет место неравенство

Статьи по теме:

Анализ учебников и учебно-методических комплексов по избранной проблеме
Предметом нашего интереса является комплекс обучения английскому языку для детей старшего дошкольного и младшего школьного возраста автора В. Н. Мещеряковой “I Love English”, который может быть отображен следующим образом. В данной работе мы подробно рассмотрим материал второй ступени данного обуча ...

История педагогической мысли и просвещения Казахстана
История развития педагогической культуры казахского народа уходит в глубь веков. Основываясь на общих закономерностях развития истории Казахстана, условно выделяется три основных периода становления педагогической мысли, соответствующие основным этапам общественного прогресса народов этого региона. ...

Почему эта проблема актуальна для дошкольного учреждения
Руководствуясь программой «Детство», которая предлагает насыщенное образовательное содержание, соответствующее познавательным интересам современного ребенка. Исходя из принципов гармоничности образования, для ограниченного вхождения ребенка в современный мир не последнее место занимает художественн ...