Формула Ньютона-Лейбница

Пусть F(x) – любая первообразная для функции f(x) на отрезке [a,b]. Так как первообразные Ф(х) и F(x) отличаются постоянным слагаемым, то имеет место равенство

где С- некоторое число.

Подставляя в это равенство значение х=а, будем иметь:

Таким образом, для любого значения х, ,

В частности, при x=b получаем:

Формула (3)

выражающая определенный интеграл от непрерывной функции через неопределенный, называется формулой Ньютона-Лейбница.

Разность F(b)-F(a) принято условно записывать в виде:

или .

Формула (3) или, что то же формула

показывает, что определенный интеграл от непрерывной функции равен разности значений любой ее первообразной, вычисленных для верхнего и нижнего пределов интегрирования. Формула Ньютона-Лейбница дает простой и удобный метод вычисления определенных интегралов от непрерывных функций, применимый в тех случаях, когда первообразная подинтегральной функции может быть найдена в элементарных функциях. Формула Ньютона – Лейбница обычно записывают в виде

.

Замечание. Удобно расширить понятие интеграла, полагая по определению при . Что

.

При таком соглашении формула Ньютона – Лейбница оказывается верной при произвольных и (в частности ).

Замена переменной в определенном интеграле

Пусть требуется вычислить определенный интеграл от функции f(x), непрерывной на отрезке [a,b]. Имеет место правило замены переменной.

Если: 1) функция непрерывна вместе со своей производной на отрезке с концами () оси Ot;

2) при изменении t от до значение функции не выходит за пределы отрезка [a,b]

3) то

Действительно по формуле Ньютона-Лейбница

,

Где F(x) – какая-нибудь первообразная для функции f(x) на отрезке [a,b].

Так как при этом функция F() является первообразной для функции , непрерывной на отрезке оси Ot с концами t= и t= , то по той же формуле Ньютона-Лейбница

Статьи по теме:

Определение квалификационных требований и условий аттестации специалиста
Специалиста по данной специальности переквалифицируется за 1 месяц. Циклы учебных дисциплин делятся на три: политехнический, специальный и общеобразовательный. Предметы общеобразовательного цикла: основы права, экология, охрана труда, экономика. Специальные дисциплины: производственное обучение, сп ...

Принципы, методы и приемы экологического образования младших школьников
Построение системы экологического образования с начала 90-х годов базировалось на ряде методологических принципов, сформулированных еще в 80-х годах такими учеными, как С.Н. Глазачев, А. Н. Захлебный, И.Д.Зверев, Е. С. Сластенина, И. Т. Суравегина. Учеными были разработаны специфические принципы эк ...

Развитие навыков изобразительной деятельности у младших школьников на уроках тематического рисования
Рисование на темы, в отличие от рисования с натуры, является рисованием по представлению. Рисуя на тему, ребенок воспроизводит не то, что он видит перед собой, опирается не на зрительное восприятие, как при рисовании с натуры, а на имеющийся у него запас знаний и зрительных представлений о тех пред ...