Методические рекомендации по решению задач с помощью определенного интеграла

Часто при изучении интегрального исчисления в школе рассматриваются лишь основные моменты данного раздела: нахождение первообразных функции, вычисление определённых интегралов, отыскание площадей плоских фигур и объёмов тел вращения. Данные вопросы являются базовыми и необходимыми, ведь именно они раскрывают основную суть процесса интегрирования, но где же творческий подход в обучении математике? Где он? Порой мы просто-напросто ограничиваем тему "Интеграл" учебников и делаем её недоступной для другого математического материала, входящего в рамки школьной программы. Многие из учителей забывают, что, используя несложные конструкции, содержащие определённые интегралы, можно составить прекрасные уравнения, неравенства, их системы, различные задачи с параметрами, решение которых вызовет лишь положительное одобрение со стороны школьников. И это действительно так. Решая достаточно большое количество стандартизованных задач, учащиеся вскоре приходят к усталости, усталости решать "одно и тоже". В этот момент "мозговой штурм" сменяется "мозговым спадом", что на наш взгляд, не хотел бы наблюдать на своём уроке каждый учитель. И вот тогда на помощь могут прийти всё те же конструкции. Благодаря им, учащиеся будут стремиться вычислить не только сам интеграл, но и применить полученные в ходе вычисления результаты к решению конкретной задачи, которая в свою очередь вызовет интерес у школьников. Таким образом, удастся восстановить атмосферу сотрудничества на уроке и локализовать "штурм" в каждом из учеников. Составляя конструкции, можно осуществить внутриматематическое моделирование, которое позволит доказать учащимся то, что тема "Интеграл" не существует сама по себе, автономно, а великолепно и в полном объёме используется при решении задач ранее изученных тем.

Также одним из существенных моментов при решении задач, содержащих конструкции, является то, что учащиеся сталкиваются с тем, что в пределах интегрирования появляются переменные (до этого были лишь постоянные), для которых чаще всего приходится проводить анализ и находить их ОДЗ. Ведь вне ОДЗ многие определённые интегралы не вычислимы, тогда сталкиваемся с несобственными интегралами, решение которых не предусматривается школьной программой. Поэтому при составлении любых конструкций данный факт должен обязательно учитываться. Именно анализ заставляет учащихся сомневаться, делает процесс вычисления познавательным и привлекает к себе класс. Заинтересованный ученик всегда активен. Он стремится решить, понять, осознать. Поддержание данного стремления – основная задача учителя, его мастерство и профессионализм. Приведём примеры некоторых из конструкций, которые могут быть использованы в конкретных ситуациях. К каждому заданию прилагается по два варианта с решениями.

I. Решить уравнения.

А) ,

Решение. Вычислим интеграл:

Тогда

Решая полученное уравнение, находим, что x = 0, x = + 1, x = – 2.

Ответ: – 2, – 1, 0, 1.

Следует отметить, что в данном задании ничего не потребовалось, кроме техники нахождения простейших интегралов и решения уравнения, в том числе кубического.

Б) .

Решение. (В силу того, что интеграл неопределён при , то подобные точки выколоты из области задания). Вычислим значение интеграла:

Статьи по теме:

Методические особенности формирования школьников эстетических знаний и умений в процессе изучения технологии обработки природных материалов
У школьников велико стремление к работе в области художественно-трудовой деятельности. Передовые учителя используют это стремление в целях нравственного и эстетического воспитания ребят, планируют на занятиях мероприятия, осуществление которых отвечает детским интересам, внутренним потребностям и п ...

Пособие учителю: как сделать успеваемость в классе очень высокой
Данная статья есть выдержка из книги автора «Основы психологии: теория познания…». Современная педагогическая наука совершенно несправедливо игнорирует некоторые положения физиологии высшей нервной деятельности. Оно, вроде бы, понятно: физиологию высшей нервной деятельности игнорирует, в первую оче ...

Понятие и содержание эстетического воспитания старших дошкольников
Термин «эстетика» происходит от греческого "aisteticos" (воспринимаемый чувством). Философы-материалисты (Д. Дидро и Н.Г. Чернышевский) считали, что объектом эстетики как науки является прекрасное. Эта категория и легла в основу системы эстетического воспитания. В наше время проблема эсте ...