Задачи, приводящие к понятию определенного интеграла

. (6)

2. При вычислении координаты центра масс можно любую часть фигуры заменить на материальную точку, поместив ее в центр масс этой части, и приписать ей массу, равную массе рассматриваемой части фигуры.

Пример5: Пусть вдоль стержня – отрезка [a;b] оси Ox – распределена масса плотностью , где - непрерывная функция. Покажем, что:

a) суммарная масса M стержня равна ;

b) координата центра масс равна .

Разобьем отрезок [a;b] на n равных частей точками . На каждом из n этих отрезков плотность можно считать при больших n постоянной и примерно равно на k – ом отрезке (в силу непрерывности ). Тогда масса k-го отрезка примерно равна , а масса всего стержня равна . Считая каждый из n маленьких отрезков материальной точкой массы , помещенной в точке , получим, что координата центра масс приближенно находится так:

.

Теперь осталось заметить, что при числитель стремится к интегралу , а знаменатель (выражающий массу всего стержня) – к интегралу .

Пусть в плоскости, снабженной декартовой системой координат, задана фигура , ограниченная отрезком оси , прямыми и , кривой , где - однозначная, непрерывная неотрицательная на отрезке функция .

Такую фигуру называют криволинейной трапецией с основанием .

Отметим, что данная здесь терминология отличается от принятой в курсе элементарной геометрии, где отрезок называется высотой трапеции, а основаниями трапеции называются отрезки параллельных прямых и . Отметим также, что точка может совпадать с точкой , а точка с точкой . Поставим задачу: “Найти площадь криволинейной трапеции”.

Статьи по теме:

Лица с ограниченными возможностями в науке и спорте
Паралимпиада - олимпийские игры инвалидов - в мире считается практически таким же выдающимся событием, как и сама Олимпиада. Возникновение видов спорта, в которых могут участвовать инвалиды, связывают с именем английского нейрохирурга Людвига Гуттмана, который, преодолевая вековые стереотипы по отн ...

Деятельность социального педагога с детскими общественными объединениями
Детское общественное объединение – одна из структур в многообразии молодежных движений, форма организации детской самодеятельности, социальной активности, самореализации; особая, педагогически организованная, среда жизнедеятельности ребенка; педагогически преобразованный социум. Основная цель детск ...

Характеристика и учебно-воспитательные задачи темы
Тема: «Подготовка агрегатов для высева семян свеклы». Количество часов на изучение темы – 6 часов. Время изучения: II курс, I семестр. Содержание темы: В целях лучшего усвоения материала и приобретения прочных умений изучение темы целесообразно разбить на следующие задания: «Подготовка тракторов к ...