Задачи, приводящие к понятию определенного интеграла

Определенный интеграл применяется в физических, механических и геометрических задачах. Особое внимание в своей работе я уделяю физическим задачам, которые могут быть использованы для проведения факультативных занятий по теме: ” Определенный интеграл”.

Рассмотрим материальную точку, движущуюся под действием силы P по прямой. Если действующая сила постоянна и направлена вдоль прямой, а перемещение равно S, то, как известно из функции, работа A этой силы равна произведению P*S. Теперь выведем формулу для подсчета работы, совершаемой переменной силой.

Пусть точка движется по оси Ox под действием силы, проекция которой на ось Ox есть функция f от x . При этом мы будем предполагать, что f есть непрерывная функция. Под действием этой силы материальная точка переместилась из точки M(a) в точку M(b). Покажем, что в этом случае работа A подсчитывается по формуле

. (6)

Разобьем отрезок [a;b] на n отрезков одинаковой длины Это отрезки [a;x1],[x1;x2], .,[xn-1;b]. Работа силы на всем отрезке [a;b] равна сумме работ этой силы на полученных отрезках. Так как f есть непрерывная функция от x, при достаточно малом отрезке [a;x1] работа силы на этом отрезке приближенно равна f(a)(x1-a) (мы пренебрегаем тем, что f на отрезке меняется). Аналогично работа силы на втором отрезке [x1;x2] приблизительно равна f(x1)(x2-x1) и т.д.; работа на n–м отрезке приближенно равна f(xn-1)(b-xn-1). Следовательно, работа силы на всем отрезке [a;b] приближенно равна:

=

и точность приближенного равенства тем выше, чем короче отрезки, на которые разбит отрезок [a;b]. Естественно, что это приближенное равенство переходит в точное, если считать, что

Поскольку Аn при стремится к интегралу рассматриваемой функции от a до b формула выведена.

Пример4: Сила упругости пружины, растянутой на 5 см, равна 3 Н. Какую работу надо произвести, чтобы растянуть пружину на 5 см?

Решение: По закону Гука сила F, растягивающая пружину на величину x, вычисляется по формуле , где - постоянный коэффициент пропорциональности,

точка O соответствует свободному положению пружины. Из условий задачи следует, что . Следовательно, и сила ,

Дж.

4.2 Центр масс

При нахождении центра масс пользуются следующими правилами:

1. Координата центра масс системы материальных точек с массами , расположенных на прямой в точках с координатами , находится по формуле

Статьи по теме:

Сказки в начальной школе
Иногда, несколько неравнодушных родителей своей активностью могут очень сильно изменить всю систему школьного образования. Появившись в школе вместе с первоклашками, они быстро объединились в родительский комитет и стали действовать. Их интересовал вопрос: как грамотно и эффективно можно стимулиров ...

Обеспечение качества и условий – задача ДОУ
На выходе из детского сада дети находятся на разном уровне психического и физиологического развития, и это нормально. В связи с этим возникает вопрос: должен ли детский сад стремиться нивелировать эти отличия и путем специальных, так называемых развивающих, программ. Пытаться искусственно ускорить ...

Помощь детям в кризисной ситуации
Кризис можно определить как: 1. резкий, крутой перелом в чем-либо, тяжелое переходное состояние; 2. острое затруднение с чем-либо (преимущественно о предметах, продуктах потребления, тяжелое положение. В жизни ребенка существуют несколько факторов, которые могут породить кризисную ситуацию: развод ...